Himpunan \(f(X)\) tak kosong dan terbatas, khususnya terbatas di atas. Sifat batas atas terkecil bilangan real menghasilkan \(M=\sup f(X)\in\R\text{.}\)

Untuk setiap \(\varepsilon\gt0\text{,}\) bilangan \(M-\varepsilon\) bukan batas atas bagi \(f(X)\text{;}\) jika ia batas atas, keminimalan \(M\) akan gagal. Maka terdapat \(y_\varepsilon\in f(X)\) dengan \(M-\varepsilon\lt y_\varepsilon\leq M\text{.}\) Jadi setiap lingkungan buka dari \(M\) memuat titik \(f(X)\text{,}\) sehingga \(M\in\overline{f(X)}\text{.}\) Himpunan \(f(X)\) tertutup, jadi sama dengan penutupannya. Oleh sebab itu \(M\in f(X)\text{;}\) ekuivalen, ada \(x_M\in X\) dengan \(f(x_M)=M\text{.}\)