Ruang \(X\) kompak dan \(f\) kontinu, sehingga teorema citra kontinu himpunan kompak menunjukkan bahwa \(f(X)\) kompak dalam \(\R\text{.}\) Karena \(X\ne\emptyset\text{,}\) pilih \(x_0\in X\text{;}\) kemudian \(f(x_0)\in f(X)\text{,}\) jadi \(f(X)\ne\emptyset\text{.}\) Teorema Heine-Borel pada \(\R\) menyatakan bahwa himpunan kompak tepat himpunan tertutup dan terbatas. Maka \(f(X)\) tertutup dan terbatas.