Ambil \(y\in A\text{.}\) Karena \(O_{a_1},\ldots,O_{a_n}\) menyelimuti \(A\text{,}\) ada \(i\) dengan \(y\in O_{a_i}\text{.}\) Di sisi lain, \(O_x\subseteq O_{xa_i}\) dan \(O_{xa_i}\cap O_{a_i}=\emptyset\text{.}\) Maka \(y\notin O_x\text{.}\) Jadi \(O_x\cap A=\emptyset\text{,}\) atau \(O_x\subseteq X\setminus A\text{.}\)

Titik \(x\in X\setminus A\) dipilih sebarang, sehingga setiap titik komplemen memiliki lingkungan buka di dalam komplemen. Maka \(X\setminus A\) terbuka dan \(A\) tertutup. Dengan demikian, setiap subhimpunan kompak dari ruang Hausdorff merupakan himpunan tertutup.