Solusi Q.3.1.

Definisikan \(U_1=(3/4,5/4)\) dan

\begin{equation*} U_n=\left(\frac1{n+1},\frac1{n-1}\right) \quad\text{untuk }n\geq2. \end{equation*}

Setiap \(U_n\) terbuka dalam \(\R\) dan memuat \(1/n\text{.}\) Karena barisan \((1/n)\) menurun ketat, kedua titik bertetangga \(1/(n+1)\) dan \(1/(n-1)\) berada tepat pada batas interval untuk \(n\geq2\text{;}\) semua suku lain berada di luar. Demikian pula, \(U_1\cap A=\{1\}\text{.}\) Jadi \(U_n\cap A=\{1/n\}\) untuk setiap \(n\geq1\text{.}\)

Keluarga \(\{U_n\mid n\in\Z^+\}\) menyelimuti \(A\text{.}\) Setiap subkeluarga berhingga hanya menyelimuti sejumlah berhingga titik \(A\text{,}\) sedangkan \(A\) tak berhingga. Karena itu keluarga ini tidak mempunyai subselimut berhingga dan \(A\) tidak kompak.