Ambil sebarang himpunan tertutup \(C\subseteq X\text{.}\) Karena \(X\) kompak, subhimpunan tertutup \(C\) kompak. Kekontinuan \(f\) kemudian membuat \(f(C)\) kompak dalam \(Y\text{.}\) Setiap subhimpunan kompak dari ruang Hausdorff tertutup, jadi \(f(C)\) tertutup dalam \(Y\text{.}\) Dengan demikian \(f\) adalah pemetaan tertutup.

Karena \(f\) bijektif, invers \(g=f^{-1}:Y\to X\) terdefinisi. Untuk setiap himpunan tertutup \(C\subseteq X\text{,}\) berlaku \(g^{-1}(C)=f(C)\text{,}\) yang tertutup dalam \(Y\text{.}\) Jadi prapeta oleh \(g\) dari setiap himpunan tertutup adalah tertutup; ini ekuivalen dengan kekontinuan \(g\text{.}\) Maka \(f\) kontinu, bijektif, dan mempunyai invers kontinu, sehingga \(f\) homeomorfisme.