Solusi Q.68.1.
Jika \(x<y\text{,}\) maka \([x,y)\) dan \([y,y+1)\) adalah himpunan terbuka basis, masing-masing memuat \(x\) dan \(y\text{,}\) serta saling lepas. Jadi garis Sorgenfrey Hausdorff.
Ambil lingkungan terbuka \(O\) dari \(x\text{.}\) Ada \(b>x\) dengan \([x,b)\subseteq O\text{.}\) Himpunan \([x,b)\) tertutup dalam garis Sorgenfrey karena komplemennya \((-\infty,x)\cup[b,\infty)\) terbuka. Pilih bilangan bulat \(N_0\) dengan \(1/N_0<b-x\text{.}\) Keluarga
\begin{equation*}
\left\{[x,b-1/n):n\ge N_0\right\}
\end{equation*}
adalah selimut buka bagi \([x,b)\text{,}\) tetapi subkeluarga berhingga mempunyai indeks maksimum \(N\) dan gabungannya hanya \([x,b-1/N)\text{.}\) Jadi \([x,b)\) tidak kompak.
Jika \(\overline O\) kompak, maka subhimpunan \([x,b)\text{,}\) yang tertutup dalam \(\overline O\text{,}\) juga kompak, sebuah kontradiksi. Tidak ada titik yang mempunyai lingkungan terbuka dengan tutupan kompak, sehingga garis Sorgenfrey tidak kompak lokal.