Ambil sembarang \(x\in\R^n\) dan tetapkan \(O=B_1(x)=\{y:d_E(x,y)<1\}\text{.}\) Himpunan \(O\) terbuka dan memuat \(x\text{.}\) Dalam topologi Euklides, \(\overline O=\{y:d_E(x,y)\le1\}\text{.}\) Bola tertutup ini tertutup dan terbatas dalam \(\R^n\text{,}\) maka kompak berdasarkan Teorema Heine–Borel. Karena konstruksi berlaku pada setiap titik, \(\R^n\) kompak lokal.