Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) sifat Hausdorff memberi himpunan terbuka saling lepas \(U_a,V_a\) dengan \(x\in U_a\) dan \(a\in V_a\text{.}\) Keluarga \(\{V_a:a\in A\}\) menyelimuti \(A\text{,}\) maka ada \(a_1,\ldots,a_n\) sehingga \(A\subseteq\bigcup_iV_{a_i}\text{.}\) Tetapkan \(U=\bigcap_iU_{a_i}\) dan \(V=\bigcup_iV_{a_i}\text{.}\) Keduanya terbuka, memuat objek yang diminta, dan saling lepas: titik dalam \(U\cap V\) akan berada dalam suatu \(V_{a_i}\) sekaligus dalam \(U\subseteq U_{a_i}\text{.}\)