Himpunan \(A\) dan \(B\) kompak karena keduanya tertutup dalam ruang kompak \(X\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) hasil pemisahan titik dari himpunan kompak dalam ruang Hausdorff memberi himpunan terbuka \(U_a,V_a\) dengan \(a\in U_a\text{,}\) \(B\subseteq V_a\text{,}\) dan \(U_a\cap V_a=\emptyset\text{.}\)

Keluarga \(\{U_a:a\in A\}\) menyelimuti \(A\text{.}\) Pilih \(a_1,\ldots,a_n\) sehingga \(A\subseteq\bigcup_iU_{a_i}\) dan tetapkan \(U=\bigcup_iU_{a_i}\text{,}\) \(V=\bigcap_iV_{a_i}\text{.}\) Karena irisan yang membentuk \(V\) berhingga, \(U\) dan \(V\) terbuka. Setiap \(V_{a_i}\) memuat \(B\text{,}\) maka \(B\subseteq V\text{.}\) Jika suatu titik berada dalam \(U\cap V\text{,}\) titik itu berada dalam suatu \(U_{a_i}\) sekaligus dalam \(V\subseteq V_{a_i}\text{,}\) sebuah kontradiksi. Jadi \(U\cap V=\emptyset\) dan \(X\) normal.