Solusi Q.54.1.
Jika \(C=\emptyset\text{,}\) ambil \(U=X\) dan \(V=\emptyset\text{.}\) Sekarang andaikan \(C\neq\emptyset\text{.}\) Untuk setiap \(c\in C\text{,}\) titik \(x\) dan \(c\) berbeda. Karena \(X\) Hausdorff, terdapat himpunan terbuka \(U_c\) dan \(V_c\) dengan \(x\in U_c\text{,}\) \(c\in V_c\text{,}\) dan \(U_c\cap V_c=\emptyset\text{.}\) Keluarga \(\{V_c\mid c\in C\}\) merupakan selimut buka bagi \(C\text{.}\)
Kekompakan \(C\) memberi titik \(c_1,\ldots,c_n\in C\) sedemikian sehingga \(C\subseteq\bigcup_{i=1}^nV_{c_i}\text{.}\) Definisikan
\begin{equation*}
U=\bigcap_{i=1}^nU_{c_i},
\qquad
V=\bigcup_{i=1}^nV_{c_i}.
\end{equation*}
Irisan berhingga \(U\) terbuka dan memuat \(x\text{;}\) gabungan \(V\) terbuka dan memuat \(C\text{.}\)
Jika \(y\in U\cap V\text{,}\) maka \(y\in V_{c_i}\) untuk suatu \(i\text{.}\) Karena \(y\in U\text{,}\) juga \(y\in U_{c_i}\text{,}\) bertentangan dengan \(U_{c_i}\cap V_{c_i}=\emptyset\text{.}\) Jadi \(U\cap V=\emptyset\text{,}\) sebagaimana diperlukan.