Solusi Q.53.1.
Himpunan \(G=\R\setminus K\) terbuka dalam topologi \(K\text{,}\) karena \(G=\bigcup_{n\in\Z^+}((-n,n)\setminus K)\text{.}\) Setiap \(O_k\) juga terbuka: suku pertamanya adalah interval terbuka dan suku keduanya anggota basis topologi \(K\text{.}\)
Misalkan \(A\supseteq K\text{.}\) Titik \(A\setminus K\) terselimuti oleh \(A\cap G\text{.}\) Untuk \(1/m\in K\text{,}\) pilih \(k=m+1\text{;}\) karena \(1/k\lt1/m\lt2\text{,}\) titik itu berada dalam \(A\cap O_k\text{.}\) Jadi
\begin{equation*}
\{A\cap G\}\cup\{A\cap O_k\mid k\in\Z^+\}
\end{equation*}
merupakan selimut buka subruang bagi \(A\text{.}\)
Subkeluarga berhingga tanpa satu pun himpunan \(O_k\) jelas tidak menyelimuti \(K\text{.}\) Untuk sembarang subkeluarga berhingga lainnya, misalkan \(N\) indeks terbesar di antara himpunan-himpunan \(O_k\) yang dipilih. Pilih \(m\geq N\text{.}\) Titik \(1/m\in K\subseteq A\) tidak berada dalam \(G\text{.}\) Untuk setiap indeks terpilih \(k\leq N\leq m\text{,}\) berlaku \(1/m\leq1/k\text{,}\) sehingga \(1/m\) tidak berada dalam \((1/k,2)\text{;}\) sebagai anggota \(K\text{,}\) titik itu juga tidak berada dalam \((-1,1)\setminus K\text{.}\) Jadi tidak ada subselimut berhingga.
Himpunan \([0,1]\) memuat \(K\text{,}\) sehingga tidak kompak. Komplemennya \((-\infty,0)\cup(1,\infty)\) terbuka dalam topologi \(K\text{,}\) jadi \([0,1]\) tertutup; himpunan ini juga terbatas dalam arti biasa.