Misalkan \(K_1,\ldots,K_n\) subhimpunan kompak dari \(X\text{,}\) dengan \(n\geq1\text{.}\) Karena \(X\) Hausdorff, setiap \(K_i\) tertutup dalam \(X\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
K=\bigcap_{i=1}^nK_i
\end{equation*}
tertutup dalam \(X\text{.}\) Khususnya, \(K=K_1\cap F\) untuk \(F=\bigcap_{i=2}^nK_i\) yang tertutup dalam \(X\text{,}\) sehingga \(K\) tertutup dalam subruang \(K_1\text{.}\)
Subhimpunan tertutup dari ruang kompak bersifat kompak. Karena \(K_1\) kompak dan \(K\) tertutup dalam \(K_1\text{,}\) maka \(K\) kompak. Untuk \(n=1\text{,}\) kesimpulan adalah hipotesis itu sendiri. Jadi setiap irisan dari sejumlah positif berhingga subhimpunan kompak bersifat kompak.