Solusi P.60.1.
Misalkan \(U\subseteq A\text{.}\) Jika \(U\) terbuka dalam \(A\text{,}\) kekontinuan \(r\) memberi keterbukaan \(r^{-1}(U)\) dalam \(X\text{.}\) Sebaliknya, jika \(r^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X\text{,}\) maka
\begin{equation*}
U=(r\circ i)^{-1}(U)=i^{-1}(r^{-1}(U))
\end{equation*}
terbuka dalam topologi subruang pada \(A\text{.}\) Jadi \(U\) terbuka tepat ketika prapetanya di bawah \(r\) terbuka; karena \(r\) surjektif, \(r\) pemetaan kuosien.
Tuliskan \(F=i\circ r:X\to X\text{.}\) Karena \(r(a)=a\) bagi setiap \(a\in A\) dan \(r(x)\in A\text{,}\) himpunan titik tetap \(F\) tepat \(A\text{.}\) Pemetaan \(x\mapsto(x,F(x))\) kontinu dari \(X\) ke \(X\times X\text{.}\) Karena \(X\) Hausdorff, diagonal \(\Delta_X=\{(x,x):x\in X\}\) tertutup. Maka \(A=\{x:F(x)=x\}\) adalah prapeta diagonal tersebut dan tertutup.
Terakhir, biarkan \(X=\R\) bertopologi diskret dan \(Y=\R\) bertopologi standar, lalu ambil identitas himpunan \(p:X\to Y\text{.}\) Setiap prapeta himpunan terbuka di \(Y\) terbuka di \(X\text{,}\) jadi \(p\) kontinu dan jelas surjektif. Namun bagi setiap \(U\subseteq Y\text{,}\) prapeta \(p^{-1}(U)=U\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Jadi topologi kuosien yang ditentukan \(p\) adalah topologi diskret, lebih besar daripada topologi standar pada \(Y\text{.}\) Karena topologi aktual kodomain bukan topologi kuosien itu, \(p\) bukan pemetaan kuosien.