Solusi P.58.1.

Periodisitas fungsi sinus dan kosinus memberi \(f(s)=f(t)\) jika dan hanya jika \(s-t\in\Z\text{.}\) Karena \(f\) juga surjektif, faktorisasi melalui proyeksi \(q:\R\to\R/\Z\) menghasilkan bijeksi \(\bar f([t])=f(t)\text{.}\) Kekontinuan \(f\) dan sifat universal topologi kuosien memberi kekontinuan \(\bar f\text{.}\)

Untuk membuktikan keterbukaan, ambil himpunan terbuka \(U\subseteq\R\text{.}\) Di sekitar setiap \(t\in U\text{,}\) pilih selang terbuka \(J_t\subseteq U\) dengan panjang kurang dari \(1\text{.}\) Pembatasan \(f|_{J_t}\) memetakan \(J_t\) homeomorfik ke suatu busur terbuka pada \(S^1\text{.}\) Karena

\begin{equation*} f(U)=\bigcup_{t\in U}f(J_t), \end{equation*}

himpunan \(f(U)\) terbuka. Jika \(W\) terbuka dalam \(\R/\Z\text{,}\) maka \(q^{-1}(W)\) terbuka dan \(\bar f(W)=f(q^{-1}(W))\) terbuka. Jadi \(\bar f\) adalah bijeksi kontinu yang terbuka, sehingga \(\bar f^{-1}\) kontinu.