Jika \(\bar f\) kontinu, maka \(f=\bar f\circ q\) kontinu sebagai komposisi dua fungsi kontinu. Sebaliknya, andaikan \(f\) kontinu dan ambil himpunan terbuka \(O\subseteq Z\text{.}\) Faktorisasi memberi identitas bertipe benar
\begin{equation*}
f^{-1}(O)=(\bar f\circ q)^{-1}(O)
=q^{-1}\left(\bar f^{-1}(O)\right).
\end{equation*}
Ruas kiri terbuka dalam \(X\) karena \(f\) kontinu. Definisi topologi kuosien menyatakan bahwa suatu himpunan \(V\subseteq X/\ssim\) terbuka tepat ketika \(q^{-1}(V)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Terapkan ini pada \(V=\bar f^{-1}(O)\text{.}\) Maka \(\bar f^{-1}(O)\) terbuka untuk setiap \(O\) terbuka, sehingga \(\bar f\) kontinu.