Solusi P.54.1.
Kesamaan \(p(x)=p(x)\) memberi refleksivitas. Jika \(p(x)=p(x')\text{,}\) simetri kesamaan memberi \(p(x')=p(x)\text{.}\) Jika \(p(x)=p(x')\) dan \(p(x')=p(x'')\text{,}\) transitivitas kesamaan memberi \(p(x)=p(x'')\text{.}\) Jadi \(\sim_p\) relasi ekuivalensi.
Jika \([x]=[x']\text{,}\) maka \(x\sim_p x'\) dan \(p(x)=p(x')\text{;}\) karena itu rumus \(h([x])=p(x)\) tidak bergantung pada wakil. Surjektivitas \(p\) memberi surjektivitas \(h\text{.}\) Jika \(h([x])=h([x'])\text{,}\) maka \(p(x)=p(x')\text{,}\) sehingga \([x]=[x']\text{;}\) jadi \(h\) injektif.
Untuk setiap \(U\subseteq Y\text{,}\) berlaku
\begin{equation*}
q^{-1}(h^{-1}(U))=(h\circ q)^{-1}(U)=p^{-1}(U).
\end{equation*}
Menurut definisi kedua topologi kuosien, ruas kanan terbuka dalam \(X\) jika dan hanya jika \(U\) terbuka dalam \(Y\text{,}\) dan ruas kiri terbuka dalam \(X\) jika dan hanya jika \(h^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X/\ssim_p\text{.}\) Jadi \(U\) terbuka tepat ketika \(h^{-1}(U)\) terbuka. Bijeksi \(h\) beserta kesetaraan ini adalah homeomorfisme.