Solusi P.15.1.
Pertama, persegi homeomorfik dengan cakram tertutup \(D^2=\{u\in\R^2\mid\|u\|\leq1\}\) melalui suatu homeomorfisme yang membawa batas persegi ke lingkaran batas. Salah satu konstruksi eksplisit diperoleh dengan memusatkan persegi menjadi \([-1,1]^2\) dan memetakan setiap sinar dari titik asal secara linear: perpotongan sinar dengan batas persegi dikirim ke perpotongan sinar yang sama dengan \(S^1\text{.}\) Jadi cukup menganalisis \(D^2/\partial D^2\text{.}\)
Untuk \(u\in D^2\) dengan \(r=\|u\|\text{,}\) definisikan \(G(0)=(0,0,1)\) dan, bila \(u\ne0\text{,}\)
\begin{equation*}
G(u)=\left(
\frac{\sin(\pi r)}{r}u_1,
\frac{\sin(\pi r)}{r}u_2,
\cos(\pi r)
\right).
\end{equation*}
Limit \(\sin(\pi r)/r\to\pi\) menunjukkan kekontinuan di \(0\text{.}\) Rumus tersebut bernilai dalam \(S^2\text{.}\) Untuk \(0\lt r\lt1\text{,}\) ketinggian \(\cos(\pi r)\) menentukan \(r\) secara unik dan dua koordinat pertama menentukan arah \(u/r\text{;}\) jadi tidak ada dua titik interior berbeda yang disamakan. Ketika \(r=1\text{,}\) seluruh batas dipetakan ke \((0,0,-1)\text{.}\) Setiap titik bola muncul untuk suatu \(0\leq r\leq1\text{,}\) maka \(G\) surjektif dan serat-seratnya tepat kelas yang diinginkan.
Dengan demikian \(G\) menginduksi bijeksi kontinu \(\overline G:D^2/\partial D^2\to S^2\text{.}\) Domain kompak sebagai citra kontinu cakram kompak dan \(S^2\) Hausdorff, sehingga bijeksi kontinu ini merupakan homeomorfisme. Menggabungkannya dengan homeomorfisme persegi-ke-cakram membuktikan \(I^2/\partial I^2\cong S^2\text{.}\)