Solusi P.12.1.
Definisikan \(f:I\to S^1\) melalui \(f(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\text{.}\) Fungsi ini kontinu dan surjektif. Untuk \(s,t\in[0,1]\text{,}\) persamaan \(f(s)=f(t)\) berlaku tepat ketika \(s=t\) atau \(\{s,t\}=\{0,1\}\text{.}\) Jadi serat-serat \(f\) tepat kelas-kelas relasi yang diberikan. Jika \(q:I\to I/\ssim\) adalah proyeksi, rumus
\begin{equation*}
\overline f([t])=f(t)
\end{equation*}
karena itu terdefinisi dengan baik dan menghasilkan bijeksi \(\overline f:I/\ssim\to S^1\) dengan \(f=\overline f\circ q\text{.}\)
Untuk setiap himpunan terbuka \(O\subseteq S^1\text{,}\) berlaku \(q^{-1}(\overline f^{-1}(O))=f^{-1}(O)\text{,}\) dan ruas kanan terbuka karena \(f\) kontinu. Definisi topologi kuosien lalu menunjukkan bahwa \(\overline f\) kontinu.
Untuk melihat kekontinuan invers tanpa hanya mengandalkan gambar, ambil \(W\) terbuka dalam \(I/\ssim\text{.}\) Himpunan \(q^{-1}(W)\) terbuka relatif dalam \(I\) dan merupakan gabungan kelas-kelas. Di sekitar setiap \(t\in(0,1)\text{,}\) pilih selang kecil tempat \(f\) memetakan homeomorfik ke suatu busur terbuka. Jika kelas ujung berada dalam \(W\text{,}\) keterbukaan dan kejenuhan prapeta memberi dua ruas \([0,\delta)\) dan \((1-\varepsilon,1]\text{;}\) citra gabungannya memuat busur terbuka di sekitar \((1,0)\text{.}\) Busur-busur ini menunjukkan bahwa \(\overline f(W)=f(q^{-1}(W))\) terbuka dalam \(S^1\text{.}\) Jadi \(\overline f\) terbuka, inversnya kontinu, dan \(\overline f\) adalah homeomorfisme.