Solusi P.10.1.
Untuk \(U\subseteq[0,1)\text{,}\) berlaku
\begin{equation*}
p^{-1}(U)=\bigcup_{n\in\Z}(n+U),
\qquad n+U=\{n+u\mid u\in U\}.
\end{equation*}
Andaikan prapeta ini terbuka. Jika \(y\in U\cap(0,1)\text{,}\) maka \(y\in p^{-1}(U)\text{;}\) ada \(\delta\gt0\text{,}\) yang dapat diperkecil agar \(\delta\lt\min\{y,1-y\}\text{,}\) sedemikian sehingga \((y-\delta,y+\delta)\subseteq p^{-1}(U)\text{.}\) Pada selang \((0,1)\text{,}\) fungsi \(p\) adalah identitas, sehingga selang itu termuat dalam \(U\text{.}\)
Jika \(0\in U\text{,}\) maka \(0\in p^{-1}(U)\text{.}\) Keterbukaan menghasilkan \(\varepsilon\gt0\text{,}\) yang dapat dipilih kurang dari \(1\text{,}\) dengan \((-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq p^{-1}(U)\text{.}\) Bagian positif dipetakan ke \((0,\varepsilon)\text{,}\) sedangkan untuk \(t\in(-\varepsilon,0)\) berlaku \(p(t)=1+t\text{.}\) Jadi
\begin{equation*}
[0,\varepsilon)\cup(1-\varepsilon,1)\subseteq U.
\end{equation*}
Kedua kondisi pada jawaban dengan demikian perlu.
Sebaliknya, andaikan kedua kondisi itu dipenuhi dan ambil \(x\in p^{-1}(U)\text{.}\) Jika \(p(x)=y\in(0,1)\text{,}\) suatu selang kecil di sekitar \(y\) yang termuat dalam \(U\text{,}\) setelah digeser oleh bilangan bulat \(\lfloor x\rfloor\text{,}\) memberi lingkungan terbuka bagi \(x\) yang termuat dalam \(p^{-1}(U)\text{.}\) Jika \(p(x)=0\text{,}\) maka \(x\) bilangan bulat; syarat pembungkusan di \(0\) membuat \((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\) termuat dalam \(p^{-1}(U)\text{,}\) setelah \(\varepsilon\) diperkecil bila perlu. Jadi setiap titik prapeta merupakan titik interior, sehingga \(p^{-1}(U)\) terbuka. Ini membuktikan kecukupan dan melengkapi pencirian semua himpunan terbuka kuosien. Topologi ini bukan topologi subruang biasa pada \([0,1)\text{;}\) secara topologis, titik dekat \(1\) juga dekat dengan \(0\text{.}\)