Solusi P.9.1.

Serat-seratnya ialah \(p^{-1}(\{-1\})=(-\infty,0)\text{,}\) \(p^{-1}(\{0\})=\{0\}\text{,}\) dan \(p^{-1}(\{1\})=(0,\infty)\text{.}\) Karena itu prapeta delapan subhimpunan \(Y\) adalah
\begin{equation*} \begin{aligned} p^{-1}(\emptyset)\amp=\emptyset, \amp p^{-1}(\{-1\})\amp=(-\infty,0), \amp p^{-1}(\{0\})\amp=\{0\},\\ p^{-1}(\{1\})\amp=(0,\infty), \amp p^{-1}(\{-1,0\})\amp=(-\infty,0], \amp p^{-1}(\{0,1\})\amp=[0,\infty),\\ p^{-1}(\{-1,1\})\amp=\R\setminus\{0\}, \amp p^{-1}(Y)\amp=\R. \end{aligned} \end{equation*}
Di antara himpunan-himpunan tersebut, tepat \(\emptyset\text{,}\) \((-\infty,0)\text{,}\) \((0,\infty)\text{,}\) \(\R\setminus\{0\}\text{,}\) dan \(\R\) yang terbuka dalam topologi standar. Subhimpunan \(Y\) yang bersesuaian memberi daftar pada jawaban. Khususnya, \(0\) tidak mempunyai lingkungan terbuka sejati di \(Y\text{;}\) setiap himpunan terbuka yang memuat \(0\) harus sama dengan \(Y\text{.}\)
in-context