Solusi P.48.1.
Definisikan \(F=i\circ r:X\to X\text{.}\) Jika \(a\in A\text{,}\) maka \(F(a)=i(r(a))=a\text{.}\) Sebaliknya, jika \(F(x)=x\text{,}\) maka \(x=i(r(x))\) berada dalam \(A\text{.}\) Jadi himpunan titik tetap \(F\) tepat \(A\text{.}\)
Pemetaan \(G:X\to X\times X\) yang diberikan oleh \(G(x)=(x,F(x))\) kontinu. Karena \(X\) Hausdorff, diagonal \(\Delta_X=\{(x,x):x\in X\}\) tertutup dalam \(X\times X\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
A=G^{-1}(\Delta_X)
\end{equation*}
tertutup dalam \(X\) sebagai prapeta himpunan tertutup di bawah fungsi kontinu.