Solusi P.47.1.
Karena \(r(a)=a\) untuk semua \(a\in A\text{,}\) fungsi \(r\) surjektif. Kekontinuannya merupakan bagian definisi retraksi. Jadi jika \(U\) terbuka dalam \(A\text{,}\) maka \(r^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(r^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X\) untuk suatu \(U\subseteq A\text{.}\) Inklusi \(i:A\hookrightarrow X\) kontinu dan \(r\circ i=\operatorname{id}_A\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*}
U=(r\circ i)^{-1}(U)=i^{-1}(r^{-1}(U))
\end{equation*}
terbuka dalam \(A\text{.}\) Maka \(U\) terbuka tepat ketika \(r^{-1}(U)\) terbuka. Ini adalah kriteria pemetaan kuosien.