Solusi P.31.1.
Untuk \(\lvert s\rvert\lt1\text{,}\) tetapkan \(u=t/\sqrt{1-s^2}\) dan definisikan
\begin{equation*}
F(s,t)=\bigl(\sqrt{1-s^2}\cos(\pi(u+1)),
\sqrt{1-s^2}\sin(\pi(u+1)),s\bigr).
\end{equation*}
Pada dua titik yang tersisa, definisikan \(F(-1,0)=(0,0,-1)\) dan \(F(1,0)=(0,0,1)\text{.}\) Nilai \(F\) selalu berada pada \(S^2\text{.}\) Fungsi ini kontinu pada bagian \(\lvert s\rvert\lt1\text{;}\) di dekat \(s=\pm1\text{,}\) panjang gabungan dua koordinat pertamanya adalah \(\sqrt{1-s^2}\text{,}\) sehingga fungsi juga kontinu di kedua titik ujung.
Pada batas atas, \(u=1\) dan sudutnya \(2\pi\text{;}\) pada batas bawah, \(u=-1\) dan sudutnya \(0\text{.}\) Jadi dua titik batas dengan koordinat pertama yang sama mempunyai citra yang sama. Sebaliknya, untuk \(-1\lt u\lt1\text{,}\) sudut berada secara unik dalam \((0,2\pi)\text{;}\) bersama koordinat ketiga \(s\text{,}\) ini menunjukkan bahwa semua titik interior mempunyai serat tunggal. Kedua titik dengan \(s=\pm1\) juga mempunyai citra berbeda. Maka serat-serat \(F\) tepat kelas-kelas relasi yang diberikan. Rumus itu juga menjangkau setiap garis lintang, sehingga \(F\) surjektif.
Fungsi \(F\) menurunkan bijeksi kontinu \(\overline F:D^2/\ssim\to S^2\text{.}\) Domain kuosien kompak dan \(S^2\) Hausdorff, jadi \(\overline F\) merupakan homeomorfisme.