Solusi P.21.1.
Untuk \(u=(x,y)\in\R^2\text{,}\) kedua selisih koordinat \(x-x\) dan \(y-y\) adalah \(0\in\Z\text{,}\) sehingga \(u\sim u\text{.}\) Jika \(u=(x_1,y_1)\sim v=(x_2,y_2)\text{,}\) maka \(x_2-x_1\) dan \(y_2-y_1\) bilangan bulat. Lawannya, \(x_1-x_2\) dan \(y_1-y_2\text{,}\) juga bilangan bulat, sehingga \(v\sim u\text{.}\)
Jika juga \(v\sim w=(x_3,y_3)\text{,}\) maka
\begin{equation*}
x_3-x_1=(x_3-x_2)+(x_2-x_1)\in\Z
\end{equation*}
dan, dengan cara yang sama, \(y_3-y_1=(y_3-y_2)+(y_2-y_1)\in\Z\text{.}\) Jadi \(u\sim w\text{.}\) Relasi tersebut refleksif, simetris, dan transitif, maka merupakan relasi ekuivalensi.