Ambil titik berbeda \(x,y\in A\text{.}\) Karena \(X\) Hausdorff, ada himpunan terbuka saling lepas \(U,V\subseteq X\) dengan \(x\in U\) dan \(y\in V\text{.}\) Himpunan \(U\cap A\) dan \(V\cap A\) terbuka dalam \(A\text{,}\) memuat titik masing-masing, dan tetap saling lepas. Jadi \(A\) Hausdorff.

Sekarang andaikan \(X\) reguler dan \(T_1\text{.}\) Ambil \(a\in A\) dan \(F\) tertutup dalam \(A\) dengan \(a\notin F\text{.}\) Ada \(C\) tertutup dalam \(X\) sehingga \(F=A\cap C\text{.}\) Karena \(a\in A\) tetapi \(a\notin F\text{,}\) juga \(a\notin C\text{.}\) Regularitas \(X\) memberi himpunan terbuka saling lepas \(U,V\) dengan \(a\in U\) dan \(C\subseteq V\text{.}\) Jejak \(U\cap A\) dan \(V\cap A\) memisahkan \(a\) dari \(F\) dalam \(A\text{.}\) Terakhir, untuk setiap \(a\in A\text{,}\) himpunan \(\{a\}\) tertutup dalam \(X\) karena \(X\) bersifat \(T_1\text{,}\) dan \(\{a\}=A\cap\{a\}\) tertutup dalam \(A\text{.}\) Jadi \(A\) reguler dan \(T_1\text{.}\)