Jika \(V\) terbuka dalam \(Y\text{,}\) kekontinuan \(f\) memberi \(f^{-1}(V)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Karena \((f|_A)^{-1}(V)=A\cap f^{-1}(V)\text{,}\) prapeta itu terbuka dalam \(A\text{;}\) jadi \(f|_A\) kontinu. Sekarang ambil \(x\in\overline{B}^{\,A}\text{.}\) Untuk setiap lingkungan terbuka \(V\) dari \(f(x)\text{,}\) himpunan \((f|_A)^{-1}(V)\) merupakan lingkungan relatif dari \(x\text{.}\) Karena \(x\) berada dalam tutupan \(B\) di \(A\text{,}\) prapeta itu bertemu \(B\text{.}\) Jadi \(V\) bertemu \(f(B)\text{,}\) yang berarti \(f(x)\in\overline{f(B)}^{\,Y}\text{.}\) Ini membuktikan inklusi.

Untuk \(X=A=B=\R\text{,}\) berlaku \(\overline{B}^{\,A}=\R\text{.}\) Fungsi \(f(x)=e^x\) kontinu dan \(f(\R)=(0,\infty)\text{,}\) sehingga ruas kiri adalah \((0,\infty)\text{.}\) Tutupan himpunan itu dalam \(\R\) adalah \([0,\infty)\text{;}\) titik \(0\) menunjukkan bahwa inklusi dapat ketat.