Ambil \(U\) terbuka dalam \(A\) dan \(x\in U\text{.}\) Ada \(O\) terbuka dalam \(X\) dengan \(U=A\cap O\text{.}\) Karena \(\mathcal{B}\) basis, ada \(B\in\mathcal{B}\) sehingga \(x\in B\subseteq O\text{.}\) Maka \(x\in B\cap A\subseteq O\cap A=U\text{,}\) dan \(B\cap A\) tidak kosong. Jadi \(\mathcal{B}_A\) memenuhi kriteria basis. Jika \(\mathcal{B}\) terhitung, membuang jejak kosong dan kemungkinan pengulangan tidak dapat menghasilkan keluarga tak terhitung; karena itu \(\mathcal{B}_A\) terhitung.

Untuk \(n\gt1\text{,}\) pilih interval terbuka yang berpusat di \(1/n\) dan ujung-ujungnya berada secara ketat di antara \(1/(n+1)\text{,}\) \(1/n\text{,}\) dan \(1/(n-1)\text{.}\) Irisannya dengan \(A\) adalah \(\{1/n\}\text{.}\) Untuk \(n=1\text{,}\) misalnya \((3/4,5/4)\cap A=\{1\}\text{.}\) Jadi setiap \(1/n\) terisolasi. Sebaliknya, ambil sebarang lingkungan relatif \(U\) dari \(0\text{.}\) Ada himpunan terbuka \(O\subseteq\R\) dengan \(U=A\cap O\) dan \(0\in O\text{.}\) Pilih \(\epsilon\gt0\) sehingga \((-\epsilon,\epsilon)\subseteq O\text{.}\) Sifat Archimedes memberi \(n\) dengan \(1/n\lt\epsilon\text{,}\) sehingga \(1/n\in U\setminus\{0\}\text{.}\) Jadi setiap lingkungan relatif dari \(0\) memuat titik lain dari \(A\text{,}\) dan \(\{0\}\) tidak terbuka dalam \(A\text{.}\)