Solusi O.11.1.
Pertama, ambil \(x\in A\text{.}\) Karena \(\B\) basis bagi \(X\text{,}\) terdapat \(B\in\B\) dengan \(x\in B\text{.}\) Maka \(x\in B\cap A\) dan \(B\cap A\in\B_A\text{.}\) Jadi anggota-anggota \(\B_A\) menutupi \(A\text{.}\)
Kedua, andaikan \(x\in(B_1\cap A)\cap(B_2\cap A)\text{,}\) dengan \(B_1,B_2\in\B\text{.}\) Karena \(x\in B_1\cap B_2\text{,}\) sifat basis \(\B\) menghasilkan \(B_3\in\B\) sedemikian sehingga \(x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\text{.}\) Akibatnya,
\begin{equation*}
x\in B_3\cap A
\subseteq(B_1\cap A)\cap(B_2\cap A),
\end{equation*}
dan \(B_3\cap A\in\B_A\text{.}\) Dengan demikian kedua kriteria basis terpenuhi.
Masih perlu mengidentifikasi topologi yang dibangkitkan. Setiap \(B\in\B\) terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga setiap \(B\cap A\) terbuka relatif. Jadi topologi yang dibangkitkan \(\B_A\) termuat dalam \(\tau_A\text{.}\) Sebaliknya, jika \(U\in\tau_A\text{,}\) tulis \(U=A\cap O\) untuk suatu \(O\in\tau\text{.}\) Karena \(\B\) basis, ada keluarga \(\{B_i\}_{i\in I}\subseteq\B\) dengan \(O=\bigcup_{i\in I}B_i\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
U=A\cap O=\bigcup_{i\in I}(A\cap B_i),
\end{equation*}
suatu gabungan anggota \(\B_A\text{.}\) Jadi topologi yang dibangkitkan tepat \(\tau_A\text{.}\)