Karena \(\emptyset,X\in\tau\text{,}\) berlaku \(\emptyset=A\cap\emptyset\in\tau_A\) dan \(A=A\cap X\in\tau_A\text{.}\) Selanjutnya, misalkan \(U_i\in\tau_A\) untuk setiap \(i\in I\text{.}\) Pilih \(O_i\in\tau\) sehingga \(U_i=A\cap O_i\text{.}\) Hukum distributif memberi
\begin{equation*}
\bigcup_{i\in I}U_i
=\bigcup_{i\in I}(A\cap O_i)
=A\cap\left(\bigcup_{i\in I}O_i\right).
\end{equation*}
Karena \(\bigcup_{i\in I}O_i\in\tau\text{,}\) gabungan tersebut berada dalam \(\tau_A\text{.}\)
Untuk irisan, jika \(U=A\cap O\) dan \(V=A\cap P\) dengan \(O,P\in\tau\text{,}\) maka
\begin{equation*}
U\cap V=A\cap(O\cap P).
\end{equation*}
Karena \(O\cap P\in\tau\text{,}\) berlaku \(U\cap V\in\tau_A\text{.}\) Argumen yang sama, atau induksi, menangani setiap irisan berhingga. Jadi ketiga aksioma topologi terpenuhi dan \(\tau_A\) merupakan topologi pada \(A\text{.}\)