Definisikan \(g=f|_{X'}\text{.}\) Jika \(x\in X'\text{,}\) maka \(x\neq a\text{;}\) keinjektifan \(f\) memberi \(f(x)\neq f(a)\text{.}\) Jadi \(g(x)\in Y'\text{.}\) Sebaliknya, untuk \(y\in Y'\text{,}\) kesurjektifan \(f\) memberi suatu \(x\in X\) dengan \(f(x)=y\text{.}\) Titik ini bukan \(a\text{,}\) sebab \(y\neq f(a)\text{.}\) Maka \(x\in X'\) dan \(g(x)=y\text{.}\) Bersama keinjektifan yang diwarisi dari \(f\text{,}\) hal ini membuktikan bahwa \(g:X'\to Y'\) bijektif.

Pembatasan fungsi kontinu pada subruang kontinu, sehingga \(g\) kontinu. Inversnya adalah pembatasan \(f^{-1}|_{Y'}:Y'\to X'\text{,}\) yang juga kontinu karena \(f^{-1}\) kontinu. Jadi \(g\) merupakan homeomorfisme antara \(X'\) dan \(Y'\text{.}\)