Misalkan \(A\) subruang dari \(X\text{.}\) Pertama, andaikan \(X\) merupakan ruang \(T_1\text{.}\) Untuk titik berbeda \(x,y\in A\text{,}\) terdapat himpunan terbuka \(U\subseteq X\) yang memuat \(y\) tetapi tidak memuat \(x\text{.}\) Himpunan \(A\cap U\) terbuka dalam \(A\text{,}\) memuat \(y\text{,}\) dan tidak memuat \(x\text{.}\) Jadi \(A\) merupakan ruang \(T_1\text{.}\)

Kedua, andaikan \(X\) merupakan ruang \(T_2\text{.}\) Untuk titik berbeda \(x,y\in A\text{,}\) pilih himpunan terbuka saling lepas \(U,V\subseteq X\) dengan \(x\in U\) dan \(y\in V\text{.}\) Himpunan \(A\cap U\) dan \(A\cap V\) terbuka dalam \(A\text{,}\) memuat titik masing-masing, dan tetap saling lepas. Maka \(A\) merupakan ruang \(T_2\text{.}\)

Terakhir, andaikan \(X\) merupakan ruang \(T_3\text{;}\) jadi \(X\) bersifat reguler dan \(T_1\text{.}\) Bagian pertama telah menunjukkan bahwa \(A\) bersifat \(T_1\text{.}\) Ambil himpunan tertutup \(F\) dalam \(A\) dan titik \(a\in A\setminus F\text{.}\) Ada himpunan tertutup \(C\) dalam \(X\) dengan \(F=A\cap C\text{.}\) Karena \(a\in A\) tetapi \(a\notin F\text{,}\) kita mempunyai \(a\notin C\text{.}\) Keteraturan \(X\) memberi himpunan terbuka saling lepas \(U,V\) dalam \(X\) dengan \(C\subseteq U\) dan \(a\in V\text{.}\) Maka \(F\subseteq A\cap U\) dan \(a\in A\cap V\text{;}\) kedua himpunan itu terbuka dan saling lepas dalam \(A\text{.}\) Jadi \(A\) reguler. Karena \(A\) juga \(T_1\text{,}\) ruang \(A\) adalah \(T_3\text{.}\) Dengan demikian ketiga sifat tersebut herediter.