Andaikan dahulu \(x\) titik limit \(B\) dalam \(X\text{.}\) Ambil sebarang lingkungan terbuka \(N\) bagi \(x\) dalam \(A\text{.}\) Terdapat himpunan terbuka \(U\) dalam \(X\) dengan \(N=A\cap U\) dan \(x\in U\text{.}\) Sifat titik limit dalam \(X\) memberi suatu \(b\in U\cap(B\setminus\{x\})\text{.}\) Karena \(B\subseteq A\text{,}\) titik \(b\) juga berada dalam \(N\text{.}\) Jadi \(x\) titik limit \(B\) dalam \(A\text{.}\)

Sebaliknya, andaikan \(x\) titik limit \(B\) dalam \(A\text{.}\) Untuk setiap himpunan terbuka \(U\subseteq X\) yang memuat \(x\text{,}\) himpunan \(A\cap U\) adalah lingkungan terbuka bagi \(x\) dalam \(A\text{.}\) Maka terdapat \(b\in(A\cap U)\cap(B\setminus\{x\})\text{,}\) sehingga khususnya \(b\in U\cap(B\setminus\{x\})\text{.}\) Dengan demikian \(x\) merupakan titik limit \(B\) dalam \(X\text{.}\)