Solusi N.89.1.
Peta \(a(x)=\pi(x-1/2)\) merupakan bijeksi kontinu dari \((0,1)\) ke \((-\pi/2,\pi/2)\text{,}\) dengan invers kontinu \(a^{-1}(t)=1/2+t/\pi\text{.}\) Pada interval \((-\pi/2,\pi/2)\text{,}\) fungsi tangen kontinu, naik ketat, dan nilainya menuju \(-\infty\) serta \(+\infty\) di kedua ujung. Karena itu tangen merupakan bijeksi ke \(\R\text{.}\) Komposisinya dengan \(a\) adalah \(h\text{,}\) sehingga \(h\) bijektif dan kontinu.
Menyelesaikan \(y=\tan(\pi(x-1/2))\) memberi
\begin{equation*}
h^{-1}(y)=\frac12+\frac{1}{\pi}\arctan(y).
\end{equation*}
Fungsi arctangen kontinu pada \(\R\text{,}\) maka invers tersebut kontinu. Jadi \(h\) homeomorfisme. Himpunan \((0,1)\) terbatas dalam metrik Euklides, sedangkan \(\R\) tidak. Homeomorfisme tidak mempertahankan ukuran jarak atau kedudukan suatu ruang sebagai himpunan bagian dari ruang metrik luar. Maka keterbatasan Euklides semacam itu bukan sifat topologis.