Solusi N.87.1.
Untuk setiap \(x\in X\text{,}\) berlaku \(q(x)=q(x)\text{,}\) maka \(x\sim x\text{.}\) Jika \(x\sim x'\text{,}\) maka \(q(x)=q(x')\text{;}\) simetri kesamaan memberi \(q(x')=q(x)\text{,}\) maka \(x'\sim x\text{.}\) Jika \(x\sim x'\) dan \(x'\sim x''\text{,}\) maka \(q(x)=q(x')=q(x'')\text{,}\) sehingga \(x\sim x''\text{.}\) Jadi \(\sim\) relasi ekuivalensi.
Menurut definisi,
\begin{equation*}
[x]=\{z\in X:q(z)=q(x)\}=q^{-1}(\{q(x)\}).
\end{equation*}
Jika \([x]=[x']\text{,}\) maka \(x\sim x'\text{,}\) sehingga \(q(x)=q(x')\text{.}\) Karena itu nilai \(\bar q([x])\) tidak bergantung pada wakil dan aturan tersebut terdefinisi dengan baik.
Jika \(\bar q([x])=\bar q([x'])\text{,}\) maka \(q(x)=q(x')\text{,}\) sehingga \(x\sim x'\) dan \([x]=[x']\text{;}\) jadi \(\bar q\) injektif. Untuk setiap \(y\in Y\text{,}\) surjektivitas \(q\) memberi \(x\in X\) dengan \(q(x)=y\text{.}\) Maka \(\bar q([x])=y\text{,}\) jadi \(\bar q\) surjektif dan karena itu bijektif.