Solusi N.86.1.
Jika \(f(x)=f(x')\text{,}\) maka \(d_X(x,x')=d_Y(f(x),f(x'))=0\text{,}\) sehingga \(x=x'\text{.}\) Jadi \(f\) injektif. Beri \(f(X)\) metrik subruang dari \(Y\text{.}\) Untuk setiap \(x\in X\) dan \(r\gt0\text{,}\) pelestarian jarak dan definisi citra memberi
\begin{equation*}
f(B_{d_X}(x,r))=B_{d_Y}(f(x),r)\cap f(X).
\end{equation*}
Maka \(f\) memadankan basis bola pada \(X\) dengan basis bola pada \(f(X)\text{.}\) Akibatnya \(f:X\to f(X)\) kontinu dan terbuka; sebagai bijeksi ke citranya, inversnya juga kontinu. Jadi \(f\) merupakan homeomorfisme ke \(f(X)\text{.}\)
Jika \(f\) surjektif, maka \(f(X)=Y\text{,}\) sehingga hasil tadi langsung memberi homeomorfisme \(X\to Y\text{.}\) Inklusi \(i:\Z\hookrightarrow\R\) mempertahankan jarak Euklides, tetapi citranya hanya \(\Z\text{,}\) bukan seluruh \(\R\text{.}\) Ia adalah homeomorfisme dari \(\Z\) ke subruang \(\Z\subseteq\R\text{,}\) bukan homeomorfisme ke kodomain \(\R\text{.}\)