Pemeriksaan N.85. Perbandingan metrik dan topologi yang sama.
Misalkan \(d\) dan \(e\) metrik pada himpunan \(X\text{.}\) Jika ada konstanta \(c,C\gt0\) sehingga
\begin{equation*}
c\,d(x,y)\leq e(x,y)\leq C\,d(x,y)
\end{equation*}
untuk semua \(x,y\in X\text{,}\) buktikan bahwa kedua metrik menginduksi topologi yang sama. Lalu, pada \(\R\text{,}\) tetapkan \(e(x,y)=|x-y|/(1+|x-y|)\text{.}\) Buktikan bahwa \(e\) memang metrik dan menginduksi topologi Euklides, walaupun tidak ada batas bawah global \(c|x-y|\leq e(x,y)\) dengan \(c\gt0\text{.}\)