Solusi N.85.1.
Jika \(d(x,y)\lt r/C\text{,}\) maka \(e(x,y)\leq C d(x,y)\lt r\text{;}\) jadi \(B_d(x,r/C)\subseteq B_e(x,r)\text{.}\) Jika \(e(x,y)\lt cr\text{,}\) maka \(c d(x,y)\leq e(x,y)\lt cr\text{,}\) sehingga \(d(x,y)\lt r\text{;}\) jadi \(B_e(x,cr)\subseteq B_d(x,r)\text{.}\) Di setiap titik, setiap bola dari salah satu metrik memuat bola dari metrik lain. Karena bola membentuk basis, topologi yang diinduksi sama.
Untuk contoh pada \(\R\text{,}\) tetapkan \(\phi(t)=t/(1+t)\) untuk \(t\geq0\text{.}\) Sifat tak negatif, simetri, dan pemisahan titik bagi \(e(x,y)=\phi(|x-y|)\) langsung mengikuti sifat nilai mutlak. Fungsi \(\phi\) naik. Selain itu, untuk \(a,b\geq0\text{,}\)
\begin{equation*}
\phi(a)+\phi(b)-\phi(a+b)
=\frac{ab(2+a+b)}{(1+a)(1+b)(1+a+b)}\geq0.
\end{equation*}
Maka ketaksamaan segitiga bagi nilai mutlak, sifat naik, dan subaditivitas memberi \(e(x,z)\leq e(x,y)+e(y,z)\text{.}\) Jadi \(e\) memang metrik.
Sekarang tulis \(t=|x-y|\text{.}\) Jika \(0\lt r\lt1\text{,}\) maka
\begin{equation*}
\frac{t}{1+t}\lt r\quad\Longleftrightarrow\quad t\lt\frac{r}{1-r}.
\end{equation*}
Jadi \(B_e(x,r)=B_d(x,r/(1-r))\text{,}\) dengan \(d\) metrik Euklides. Sebaliknya, untuk setiap \(s\gt0\text{,}\) pilihan \(r=s/(1+s)\) memberi \(B_d(x,s)=B_e(x,r)\text{.}\) Maka kedua keluarga bola menghasilkan topologi yang sama.
Andaikan ada \(c\gt0\) dengan \(c|x-y|\leq e(x,y)\) untuk semua pasangan. Untuk \(x=0\) dan \(y=t\gt0\text{,}\) pembagian oleh \(t\) memberi \(c\leq1/(1+t)\text{.}\) Ruas kanan menuju nol ketika \(t\) menuju tak hingga, sebuah kontradiksi. Jadi perbandingan dua arah dengan konstanta global cukup, tetapi bukan syarat perlu bagi kesamaan topologi.