Satu-satunya himpunan terbuka dalam \(S_i\) adalah \(\emptyset\) dan \(S\text{;}\) prapetanya di bawah identitas adalah himpunan yang sama dan keduanya terbuka dalam \(S_d\text{.}\) Jadi identitas tersebut kontinu dan jelas bijektif. Pilih \(A\subset S\) yang tak kosong dan sejati. Himpunan \(A\) terbuka dalam \(S_d\text{,}\) tetapi prapetanya di bawah fungsi invers, yaitu \(A\text{,}\) tidak terbuka dalam \(S_i\text{.}\) Jadi invers tidak kontinu dan fungsi bukan homeomorfisme.

Sekarang misalkan \(f:X\to Y\) bijektif dan kontinu. Untuk setiap \(U\subseteq X\text{,}\) berlaku \((f^{-1})^{-1}(U)=f(U)\text{.}\) Karena itu \(f^{-1}\) kontinu jika dan hanya jika \(f(U)\) terbuka untuk setiap \(U\) terbuka, yakni jika dan hanya jika \(f\) merupakan pemetaan terbuka.

Jika \(C\subseteq X\) tertutup, bijektivitas memberi \(f(X\setminus C)=Y\setminus f(C)\text{.}\) Dengan mengambil komplemen, citra semua himpunan terbuka terbuka jika dan hanya jika citra semua himpunan tertutup tertutup. Jadi syarat pemetaan terbuka dapat diganti dengan syarat pemetaan tertutup.