Ambil himpunan terbuka \(W\subseteq Z\text{.}\) Karena \(g\) kontinu, \(g^{-1}(W)\) terbuka dalam \(Y\text{.}\) Karena \(f\) kontinu, \(f^{-1}(g^{-1}(W))\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Identitas
\begin{equation*}
(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))
\end{equation*}
kemudian membuktikan kekontinuan komposisi.
Untuk pembatasan, jika \(V\subseteq Y\) terbuka, maka
\begin{equation*}
(f|_A)^{-1}(V)=A\cap f^{-1}(V).
\end{equation*}
Himpunan \(f^{-1}(V)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Menurut definisi topologi subruang, irisannya dengan \(A\) terbuka dalam \(A\text{.}\) Maka \(f|_A\) kontinu.