Solusi N.82.1.
Andaikan \(f\) kontinu di setiap titik dan \(V\) terbuka dalam \(Y\text{.}\) Untuk \(x\in f^{-1}(V)\text{,}\) himpunan \(V\) merupakan lingkungan \(f(x)\text{.}\) Kekontinuan di \(x\) menyatakan bahwa \(f^{-1}(V)\) merupakan lingkungan \(x\text{.}\) Jadi ada himpunan terbuka \(U_x\) dengan \(x\in U_x\subseteq f^{-1}(V)\text{.}\) Karena ini berlaku bagi setiap \(x\in f^{-1}(V)\text{,}\) berlaku
\begin{equation*}
f^{-1}(V)=\bigcup_{x\in f^{-1}(V)}U_x,
\end{equation*}
sehingga prapeta tersebut terbuka.
Sebaliknya, andaikan prapeta setiap himpunan terbuka bersifat terbuka. Ambil \(x\in X\) dan lingkungan \(N\) dari \(f(x)\text{.}\) Ada himpunan terbuka \(V\) dengan \(f(x)\in V\subseteq N\text{.}\) Maka \(f^{-1}(V)\) terbuka, memuat \(x\text{,}\) dan berada di dalam \(f^{-1}(N)\text{.}\) Jadi \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan \(x\text{.}\) Dengan demikian \(f\) kontinu di \(x\text{,}\) dan \(x\) tadi sembarang.