Solusi N.19.1.
Pada suatu himpunan ruang-ruang metrik, definisikan \(X\sim Y\) jika terdapat isometri dari \(X\) ke \(Y\text{.}\) Untuk setiap ruang \((X,d_X)\text{,}\) pemetaan identitas \(i_X\) bijektif dan memenuhi \(d_X(i_X(x),i_X(y))=d_X(x,y)\text{;}\) jadi \(X\sim X\) dan relasi ini refleksif.
Jika \(f:X\to Y\) suatu isometri, maka \(f^{-1}:Y\to X\) bijektif. Untuk \(u,v\in Y\text{,}\) tuliskan \(u=f(x)\) dan \(v=f(y)\text{.}\) Pelestarian jarak oleh \(f\) memberikan
\begin{equation*}
d_X(f^{-1}(u),f^{-1}(v))=d_X(x,y)=d_Y(u,v).
\end{equation*}
Jadi \(f^{-1}\) isometri dan relasi ini simetris.
Terakhir, jika \(f:X\to Y\) dan \(g:Y\to Z\) isometri, maka \(g\circ f\) bijektif dan, untuk semua \(x,y\in X\text{,}\)
\begin{equation*}
d_Z(g(f(x)),g(f(y)))=d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y).
\end{equation*}
Jadi \(g\circ f\) isometri dan relasi ini transitif. Ketiga sifat tersebut membuktikan bahwa ekuivalensi metrik merupakan relasi ekuivalensi.