Andaikan \(f\) kontinu dan ambil himpunan tertutup \(C\subseteq Y\text{.}\) Himpunan \(Y\setminus C\) terbuka, sehingga \(f^{-1}(Y\setminus C)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Akan tetapi,
\begin{equation*}
f^{-1}(Y\setminus C)=X\setminus f^{-1}(C).
\end{equation*}
Jadi komplemen \(f^{-1}(C)\) terbuka, dan karenanya \(f^{-1}(C)\) tertutup dalam \(X\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan prapeta setiap himpunan tertutup dalam \(Y\) tertutup dalam \(X\text{.}\) Ambil himpunan terbuka \(O\subseteq Y\text{.}\) Komplemennya \(C=Y\setminus O\) tertutup, sehingga \(f^{-1}(C)\) tertutup. Maka
\begin{equation*}
f^{-1}(O)=f^{-1}(Y\setminus C)=X\setminus f^{-1}(C)
\end{equation*}
terbuka dalam \(X\text{.}\) Prapeta setiap himpunan terbuka dalam \(Y\) dengan demikian terbuka dalam \(X\text{,}\) yang membuktikan kekontinuan \(f\text{.}\)