Solusi N.30.1.
Ekuivalensi metrik menyediakan bijeksi \(f:X\to Y\) dengan \(d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)\) untuk semua \(x,y\in X\text{.}\) Tetapkan \(x\in X\) dan \(\epsilon\gt 0\text{.}\) Jika \(d_X(x,y)\lt\delta\) dengan \(\delta=\epsilon\text{,}\) maka
\begin{equation*}
d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)\lt\epsilon.
\end{equation*}
Jadi \(f\) kontinu di setiap \(x\text{.}\)
Karena \(f\) bijektif, inversnya terdefinisi. Untuk semua \(u,v\in Y\text{,}\) pelestarian jarak pada arah invers memberikan \(d_X(f^{-1}(u),f^{-1}(v))=d_Y(u,v)\text{.}\) Argumen yang sama, kembali dengan \(\delta=\epsilon\text{,}\) menunjukkan bahwa \(f^{-1}\) kontinu. Dengan demikian \(f\) adalah bijeksi kontinu dengan invers kontinu, yaitu homeomorfisme antara topologi-topologi metrik pada \(X\) dan \(Y\text{.}\)