Ambil lingkungan sebarang \(V\) bagi \(f(x)\text{.}\) Kekontinuan \(f\) membuat \(f^{-1}(V)\) menjadi lingkungan bagi \(x\text{.}\) Karena \(x\) titik batas \(A\text{,}\) terdapat \(a\in f^{-1}(V)\cap A\) dan \(b\in f^{-1}(V)\cap(X\setminus A)\text{.}\) Maka \(f(a)\in V\cap f(A)\text{.}\)

Di sisi lain, \(f(b)\in V\) tetapi \(f(b)\notin f(A)\text{.}\) Memang, jika \(f(b)=f(c)\) untuk suatu \(c\in A\text{,}\) keinjektifan \(f\) akan memberikan \(b=c\in A\text{,}\) bertentangan dengan \(b\notin A\text{.}\) Jadi \(f(b)\in V\cap(Y\setminus f(A))\text{.}\) Setiap lingkungan \(V\) bertemu kedua \(f(A)\) dan komplemennya; dengan demikian \(f(x)\) merupakan titik batas dari \(f(A)\text{.}\)