Ambil lingkungan sebarang \(V\) bagi \(f(x)\) dalam \(Y\text{.}\) Karena \(f\) kontinu, \(f^{-1}(V)\) merupakan lingkungan bagi \(x\text{.}\) Titik \(x\) adalah titik limit \(A\text{,}\) sehingga terdapat \(a\in A\) dengan \(a\neq x\) dan \(a\in f^{-1}(V)\text{.}\) Akibatnya, \(f(a)\in f(A)\cap V\text{.}\) Karena suatu homeomorfisme adalah injektif, \(a\neq x\) memberikan \(f(a)\neq f(x)\text{.}\) Jadi setiap lingkungan \(V\) bagi \(f(x)\) bertemu \(f(A)\setminus\{f(x)\}\text{.}\) Menurut definisi, \(f(x)\) merupakan titik limit dari \(f(A)\text{.}\)