Karena \(C\) tertutup dan \(x\notin C\text{,}\) pencirian jarak ke himpunan memberi \(\delta=d(x,C)\gt 0\text{.}\) Tetapkan \(U=B(x,\delta/3)\) dan \(V=\bigcup_{c\in C}B(c,\delta/3)\text{.}\) Keduanya terbuka, \(x\in U\text{,}\) dan \(C\subseteq V\text{.}\) Jika \(z\in U\cap V\text{,}\) ada \(c\in C\) dengan \(d(x,z)\lt\delta/3\) dan \(d(z,c)\lt\delta/3\text{.}\) Ketaksamaan segitiga memberi \(d(x,c)\lt 2\delta/3\lt\delta\text{,}\) bertentangan dengan definisi \(\delta\text{.}\) Maka \(U\cap V=\emptyset\text{,}\) dan ruang bersifat reguler.

Jika salah satu dari \(A,B\) kosong, pisahkan keduanya dengan \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Untuk dua himpunan tertutup tak kosong dan saling lepas \(A,B\text{,}\) fungsi \(f(z)=d(z,A)-d(z,B)\) kontinu karena masing-masing fungsi jarak kontinu. Maka \(U=f^{-1}((-\infty,0))\) dan \(V=f^{-1}((0,\infty))\) terbuka dan jelas saling lepas. Jika \(a\in A\text{,}\) maka \(d(a,A)=0\text{,}\) sedangkan \(d(a,B)\gt 0\) karena \(B\) tertutup dan \(a\notin B\text{.}\) Jadi \(a\in U\text{.}\) Dengan cara yang sama, \(B\subseteq V\text{.}\) Ini membuktikan normalitas.

Tidak selalu berlaku \(d(A,B)\gt 0\text{.}\) Dalam \(\R^2\text{,}\) ambil \(A=\{(t,0):t\geq1\}\) dan \(B=\{(t,1/t):t\geq1\}\text{.}\) Kedua himpunan tertutup dan saling lepas, tetapi jarak antara \((t,0)\) dan \((t,1/t)\) menuju nol. Jadi pemisahan normal harus memakai jarak titik-ke-himpunan yang berubah terhadap titik, bukan satu jarak global positif.