Pernyataan pertama dan kedua sama menurut definisi kerapatan. Andaikan \(\overline A=X\) dan \(O\) terbuka tak kosong. Pilih \(x\in O\text{.}\) Karena \(x\in\overline A\text{,}\) setiap lingkungan \(x\text{,}\) khususnya \(O\text{,}\) bertemu \(A\text{.}\) Jadi \(O\cap A\neq\emptyset\text{.}\)

Sebaliknya, andaikan setiap himpunan terbuka tak kosong bertemu \(A\text{.}\) Untuk sembarang \(x\in X\text{,}\) setiap lingkungan \(N\) dari \(x\) memuat himpunan terbuka tak kosong \(O\) dengan \(x\in O\subseteq N\text{.}\) Hipotesis memberi \(O\cap A\neq\emptyset\text{,}\) maka \(N\cap A\neq\emptyset\text{.}\) Jadi \(x\in\overline A\text{.}\) Karena \(x\) sembarang, \(\overline A=X\text{.}\)

Setiap himpunan terbuka tak kosong dalam topologi Euklides memuat interval terbuka tak kosong, dan setiap interval demikian memuat bilangan rasional. Maka \(\Q\) rapat dalam \(\R\text{.}\) Sebaliknya, interval terbuka \((1/4,3/4)\) tidak bertemu \(\Z\text{.}\) Pencirian ketiga menunjukkan bahwa \(\Z\) tidak rapat.