Solusi M.79.1.
Titik \(x\) berada dalam \(\overline A\) jika dan hanya jika setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\text{.}\) Demikian pula, \(x\in\overline{X\setminus A}\) jika dan hanya jika setiap lingkungannya bertemu \(X\setminus A\text{.}\) Kedua syarat berlaku sekaligus tepat ketika \(x\) merupakan titik batas \(A\text{.}\) Maka \(\Bdry(A)=\overline A\cap\overline{X\setminus A}\text{.}\)
Sebuah titik tidak berada dalam \(\Int(A)\) tepat ketika setiap lingkungannya bertemu \(X\setminus A\text{.}\) Jadi \(X\setminus\Int(A)=\overline{X\setminus A}\text{,}\) dan
\begin{equation*}
\overline A\cap\overline{X\setminus A}
=\overline A\cap(X\setminus\Int(A))
=\overline A\setminus\Int(A).
\end{equation*}
Bentuk irisan membuktikan ketertutupan. Menukar \(A\) dengan komplemennya hanya menukar kedua faktor, sehingga batasnya sama.
Jika \(A\) buka-tutup, maka \(\overline A=A=\Int(A)\text{,}\) jadi batasnya kosong. Sebaliknya, jika batas kosong, maka \(\overline A\setminus\Int(A)=\emptyset\text{,}\) sehingga \(\overline A\subseteq\Int(A)\text{.}\) Selalu berlaku \(\Int(A)\subseteq A\subseteq\overline A\text{;}\) ketiganya karena itu sama. Persamaan \(A=\Int(A)\) menyatakan bahwa \(A\) terbuka, dan \(A=\overline A\) menyatakan bahwa \(A\) tertutup.