Keluarga pada definisi \(F_A\) tidak kosong karena memuat \(X\text{.}\) Irisan sebarang himpunan tertutup bersifat tertutup, sehingga \(F_A\) tertutup; setiap himpunan dalam keluarga itu memuat \(A\text{,}\) maka \(A\subseteq F_A\text{.}\) Jadi \(F_A\) adalah salah satu himpunan tertutup yang memuat \(A\text{.}\)

Jika \(C\) tertutup dan \(A\subseteq C\text{,}\) ambil \(x\in A'\text{.}\) Setiap lingkungan \(x\) bertemu \(A\setminus\{x\}\subseteq C\setminus\{x\}\text{,}\) sehingga \(x\in C'\text{.}\) Karena \(C\) tertutup, berlaku \(C'\subseteq C\text{,}\) jadi \(x\in C\text{.}\) Karena \(\overline A\) terdiri atas \(A\) beserta titik-titik limitnya, berlaku \(\overline A\subseteq C\text{.}\) Ini benar untuk setiap \(C\) dalam keluarga tersebut, jadi \(\overline A\subseteq F_A\text{.}\) Sebaliknya, \(\overline A\) sendiri tertutup dan memuat \(A\text{,}\) sehingga muncul dalam keluarga yang diiris dan memberi \(F_A\subseteq\overline A\text{.}\)

Jika \(A\subseteq B\text{,}\) setiap himpunan tertutup yang memuat \(B\) juga memuat \(A\text{.}\) Khususnya \(\overline B\) adalah himpunan tertutup yang memuat \(A\text{,}\) maka minimalitas memberi \(\overline A\subseteq\overline B\text{.}\) Karena \(\overline A\) sudah tertutup, himpunan tertutup terkecil yang memuatnya adalah dirinya sendiri. Jadi \(\overline{\overline A}=\overline A\text{.}\)