Ambil sebarang \(x\in\overline{A}=A\cup A'\text{.}\) Jika \(x\in A\text{,}\) maka \(x\in C\) karena \(A\subseteq C\text{.}\) Jika \(x\in A'\) tetapi \(x\notin C\text{,}\) himpunan \(X\setminus C\) merupakan lingkungan terbuka dari \(x\) yang tidak bertemu \(A\text{.}\) Ini bertentangan dengan definisi titik limit. Maka dalam kasus kedua pun \(x\in C\text{.}\) Jadi \(\overline{A}\subseteq C\text{.}\)

Selain itu, \(A\subseteq\overline{A}\) langsung dari \(\overline{A}=A\cup A'\text{,}\) dan \(\overline{A}\) tertutup. Karena \(\overline{A}\) termuat dalam setiap himpunan tertutup \(C\) yang memuat \(A\text{,}\) tutupan itu adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\text{.}\)